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一类时间分数阶模型的有限差分方法及其快速实现

申报人：韦权倩 申报日期：2024-05-28

基本情况

2024年批次
一类时间分数阶模型的有限差分方法及其快速实现 学生申报
创新训练项目
理学
数学类
学生来源于教师科研项目选题
一年期
该项目旨在研究时间分数阶模型，并提出相应的有限差分方法进行数值求解，以实现对这一类模型的快速计算与分析。通过对时间分数阶微分方程的数值逼近，结合有限差分方法的研究，探讨时间分数阶模型的数值解法，并提出相应的快速实现策略。该项目将深入探讨时间分数阶微分方程的数值求解方法，提高计算效率和准确性，为时间分数阶模型的研究和应用提供理论基础和技术支持。
参与Caputo型分数阶常微分方程的数值解法研究。

广西自然科学基金项目（基金号：2023GXNSFAA026315）。

提供技术性指导。

校级

项目成员

序号 学生 所属学院 专业 年级 项目中的分工 成员类型
韦权倩 数学与统计学院 信息与计算科学 2022 项目总负责
罗益华 数学与统计学院 信息与计算科学 2022 数值理论分析
陆美燕 数学与统计学院 信息与计算科学 2022 数值计算模拟
陈锐 数学与统计学院 信息与计算科学 2022 数值计算模拟
齐通 数学与统计学院 信息与计算科学 2022 数值理论分析

指导教师

序号 教师姓名 所属学院 是否企业导师 教师类型
陈安 数学与统计学院 否

立项依据

时间分数阶模型在研究一些具有记忆过程、遗传性质以及异质材料比整数阶模型更具优势，是一种非常有效的建模手段。它在科学与工程众多领域，如：地下水污染、材料力学以及生物系统等，发挥着越来越重要的作用。由于这类模型的非局部性，一般来说求解其解析解是不容易的，因此需借助数值解法进行研究。有限差分方法是数值求解分数阶模型的主要方法之一，而有限差分方法的快速实现通常需要更少的计算资源和时间，从而提高计算效率。这对于需要大量计算资源的应用场景（如大规模模拟）尤为重要。本项目拟以一类时间分数阶模型为例，设计模型的稳定的有限差分方法，并给出严格的稳定性与收敛性分析。通过发展数值格式的快速算法，最终提供一种稳定、高精度、低存储的高效数值求解方法，从而有效降低数值解的初始弱奇异性以及分数阶微分算子的非局部性给数值格式带来的影响，达到对时间分数阶模型的有效数值模拟的目的。此外，该研究将进一步丰富分数阶模型的数值解法，促进分数阶微积分等相关领域的发展。
1. 以一类时间分数阶模型为例，研究相应方程解的性质，给出解的适定性分析。
2. 设计有限差分方法及其快速实现：包括差分格式的推导和相应的数值理论分析（主要为稳定性和收敛性）以及优化计算方法，以解决时间分数阶模型在初始弱奇异解和分数阶微分算子的非局部性对数值求解带来的问题。
3. 数值方法的改进以其数值实现：进一步改进现有的有限差分方法，以提高数值解的稳定性和计算效率。探索并优化算法以利用并行计算和现代硬件加速数值求解过程，降低计算成本，以便应用到实际问题的数值模拟。 
       时间分数阶模型是当前的研究热点。时间分数阶模型在科学与工程众多领域中应用广泛，比如一些在反常扩散、混沌模型、保守系统的动力学、流体力学等方面的经典应用，同时在深度学习、图像处理、地下水污染物输送，金融分析等这些领域也有一定的应用。由于模型的解析解一般不易得到，因此需求助于数值解。近年来，时间分数阶偏微分方程的数值解法的研究在国内外得到了充分的研究，并取得了一定的成果。求解时间分数阶偏微分方程的数值方法一般有：有限差分法、Galerkin有限元方法和谱方法等等。有限差分方法是其中的一种重要方法，因其形式简单，程序实现容易而在工程的数值模拟中备受欢迎。
       时间分数阶模型中含有分数阶微分算子。这种算子是非局部算子，它为准确刻画反常扩散等现象提供了有效的工具，但同时它也对计算效率造成了一定的影响。因此，为了提高时间分数阶偏微分方程的求解精度和求解效率，近年来出现了一些新的求解此类问题的快速算法，例如基于自适应时间步长法、卷积求积方法、快速张量解法、间断有限元方法等。这些快速算法的提出与应用，能够在更短的时间内求解出相同精度下的结果，因此大大节省了求解时间和减少了求解过程中所占的内存。
       近年来，时间分数阶模型呈现出多学科交叉的研究态势，但目前的数值格式大部分是在解充分光滑的假设下，并且计算效率不高，因此，本研究拟以一类时间分数阶模型为例，构造有效的有限差分格式以其快速实现，克服传统方法的在求解模型的初始弱奇异解和分数阶微分算子的非局部性对数值格式造成的精度和计算效率的影响，并应用到实际的模型的数值模拟。 
1.创新点：
（1）将分数阶微积分的特性融入到传统的求解方法中，使得方法更加适用于一类时间偏微分方程的求解。
（2）基于解的初始解奇异性，设计高精度的有限差分格式，并考虑数值解的稳定性和收敛性，具有数学理论支持，从而可以保证数值解的正确性和可靠性。
（3）该数值求解方法可以与其他数值方法相结合，形成一种更加全面和高效的数值求解方案。例如，可以将有限差分方法基于分数阶导数非局部性而快速实现，以实现更好的数值计算效率。
2.项目特色：
通过对分数阶微积分的学习，以及对数值理论的深入拓展研究，我们旨在研究一类时间分数阶模型的有限差分方法及其快速实现，并将它运用到实际问题的求解。与经典模型问题不同的是，求解此类方程由于具有非局部性，因此其理论分析以及数值离散都极具挑战性。但由于分数阶导数是整数阶导数的推广，因此可以适当借助已有的学习经验，利用已有方法的修正或改进对分数阶方程进行研究，从而使得研究具有一定的特色。 
1.技术路线：
Step1：设计有限差分格式：根据时间分数阶模型的特点设计合适的有限差分格式，如中心差分、向前差分或向后差分，考虑精度、稳定性等要求进行优化调整。
Step2：数值算法实现：通过编程语言编写代码来实现有限差分算法，计算模型的数值解，优化算法的效率和内存使用，以实现快速计算。
Step3：数值模拟：使用实现的算法进行数值模拟，求解时间分数阶模型，从而分析数值解的稳定性、收敛性和精度，比较不同有限差分格式和参数对数值解的影响。
Step4：快速实现策略探索：研究并行计算、高效算法改进和结合硬件特性进行优化。与解析解或其他精确方法的结果进行对比验证，评估快速实现策略的效果。
2.拟解决的问题：
目前一些常见的时间分数阶偏微分方程的有限差分法求数值解问题的具体方法存在的问题：
（1）数值稳定性问题：分数阶算子的引入可能导致数值计算过程中稳定性较难保证，容易出现数值不稳定现象。解决方法包括调整差分格式、选择合适的时间步长、使用稳定的数值算法等。
（2）精度损失问题：由于分数阶导数的特殊性质，有限差分方法可能难以精确地逼近分数阶导数，从而导致整体数值解的精度降低。可以尝试使用更高精度的差分格式、增加网格点数或采用其他数值逼近方法来提高精度。
（3）计算效率问题：时间分数阶偏微分方程的计算量通常较大，可能导致计算效率不高。解决方法包括优化算法结构、使用并行计算或高效的数值库等。
（4）边界条件处理问题：合适地处理边界条件对于获得准确的数值解非常重要。对于时间分数阶偏微分方程，可以考虑特殊的边界处理方法，如采用合适的边界条件离散方式或引入边界层校正。
根据上述问题，我们通常会结合数值分析和数学理论，不断探索和改进有限差分方法的数值求解。同时，也可以探讨其他数值解法，如有限元法、谱方法等，或者结合多种方法的优点来提高时间分数阶数值求解的实用性和应用效果、提出相应的快速实现策略。这将为分数阶微分方程应用于实际科学问题和工程实践提供更加有效和可靠的数学工具和方法。
3.预期成果：
（1）提出高效的有限差分方法：针对时间分数阶模型，开发出能准确、稳定且快速计算数值解的有限差分方法。
（2）收敛性分析和稳定性的研究：所采用的有限差分法在一定条件下具有收敛性，即随着网格细化等操作，数值解能趋近于真实解。确定有限差分格式在不同参数和条件下的稳定性，保证计算过程的可靠性。
（3）误差估计和算法效率提升：给出数值解的误差范围和误差阶，明确方法的精度水平。通过优化差分格式或计算流程，提高计算效率，减少计算时间和资源消耗。
（4）快速实现策略：提出了一系列有效的快速实现策略，如优化的计算流程、并行计算、数值逼近技巧方案等，显著提高计算效率。
（5）推动相关领域的发展：时间分数阶模型在许多领域都有应用，因此时间分数阶模型的数值求解和快速实现研究提供新的思路和方法，可以为这些领域的发展提供新的理论支持和数值工具，促进相关领域的进一步研究和应用。
       综上所述，预期成果为：通过对时间分数阶偏微分方程的数值逼近，结合有限差分方法的研究，提高计算效率和准确性，并给出严格的数值理论分析，为时间分数阶模型的研究和应用提供理论基础和技术支持。本项目将形成具有一定创新的研究成果。 
阶段一（2024年5月-2025年4月）：文献综述与背景调研
阅读相关文献，了解时间分数阶偏微分方程的定义、性质以及分数阶微积分理论的相关内容；调研偏微分方程的数值解法研究的现状和发展动态，了解经典方法及新兴技术的优缺点。
阶段二（2024年5月-2024年10月）：数值方法研究
深入学习时间分数阶偏微分方程解的性质，分析解的存在性和唯一性（总结归纳分析方法）；掌握基于变步长Adams-Bashforth-Moulton格式的显式和半隐式迭代方法、正交谱方法等经典的数值方法；学习基于自适应网格的方法、多尺度法、神经网络方法等新的数值计算方法和技术；根据之前的研究分析，寻找分数阶常微分方程的数值解法，包括数值格式的推导以及相应的数值理论分析（主要为稳定性和收敛性）。
阶段三（2024年10月-2025年3月）：实验设计和计算
根据所选的数值方法，设计相应的数值计算方案；实现数值计算程序，进行数值模拟实验，并分析计算结果；针对计算结果进行优化，提高数值求解的精度和效率。
阶段四（2025年3月-2025年4月）：研究总结和论文撰写
对研究成果进行总结，归纳并分析数值方法的优缺点；撰写论文，介绍时间分数阶偏微分方程的数值解法研究现状和发展动态，提出自己的研究思路和实验结果，以及研究结论和进一步展望。 
项目负责人及其团队成员均为信息与计算科学专业学生，成员们一直积极参与学院组织的课内外创新创业活动，如报名创新创业网络教学课程。目前，在我们的日常教学中，我们已经完成了《数学分析》，《高等代数》，《解析几何》，《矩阵论》，《数据分析》，《数值分析》等课程的学习，培养良好数学思维，数学基础扎实，能够灵活的运用数学知识，运算能力良好。我们已掌握C语言编程，有一定的编程基础，有良好的面向对象编程思想，并且已开始C++的学习。除此之外我们也熟练掌握MATLAB软件的运用，熟练掌握办公软件的操作，对Python，lingo软件有所认识，可以为本项目展开提供技术支持。除外，我们也在课余时间努力学习分数阶微分方程的知识。

学院提供良好的研究条件，拥有充足的计算机设备，学校图书馆有丰富的图书资源，各式各样的相关的实体书及电子书，并且目前国内外对时间分数阶偏微分方程的研究已比较成熟，各样的文献便利了我们项目的研究。我们目前尚存在的问题是对分数阶微分方程知识的不熟练，研究过程中会遇到知识陌生的地方，为解决这些问题，我们今后会更加深入地学习分数阶微分方程，查阅资料，咨询老师，学习网课，以弥补我们知识的不足。

经费预算

开支科目 预算经费（元） 主要用途 阶段下达经费计划（元）
前半阶段 后半阶段
预算经费总额 6000.00 项目研究 3000.00 3000.00
1. 业务费 6000.00 项目研究 3000.00 3000.00
（1）计算、分析、测试费 800.00 用于数据收集和数据分析 400.00 400.00
（2）能源动力费 0.00 无 0.00 0.00
（3）会议、差旅费 3000.00 外出交流的路费等 1500.00 1500.00
（4）文献检索费 200.00 文献检索 100.00 100.00
（5）论文出版费 2000.00 支付给期刊或出版社的费用 1000.00 1000.00
2. 仪器设备购置费 0.00 无 0.00 0.00
3. 实验装置试制费 0.00 无 0.00 0.00
4. 材料费 0.00 无 0.00 0.00
结束

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